МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ „ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА”
ІКТА
Кафедра Захист інформації
З В І Т
До лабораторної роботи №4
з курсу:
„ Комп’ютерні методи дослідження
інформаційних процесів та систем ”
на тему:
„ ЧИСЛОВЕ ІНТЕГРУВАННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ ”
Варіант 17
Львів – 2010
Мета роботи - ознайомлення з методами наближеного інтегрування означених інтегралів.
Короткі теоретичні відомості
Нехай дана деяка функція на деякому відрізку . Розглянемо задачу обчислення її означеного інтеграла
.
Якщо для відома первісна , то інтеграл обчислюється за формулою Ньютона - Лейбніца
(1)
Однак для великого класу функцій не можна виразити через елементарні функції, тому означений інтеграл вже не можна обчислити за допомогою формули Ньютона - Лейбніца. Крім того, бувають випадки, коли підінтегральна функція задається не аналітично, а таблично. Тоді використовують формули наближеного інтегрування, які називають квадратурними. Сам процес чисельного визначення інтегралу називають квадратурою, а відповідні формули - квадратурними.
Ідея чисельних методів інтегрування полягає в наступному. Означений інтеграл
Рис. 1
можна трактувати як площу фігури (рис.1), обмеженої ординатами a і b , віссю абсцис і графіком підінтегральної функції (криволінійною трапецією).
При наближеному обчисленні криволінійну трапецію заміняють фігурою, обмеженою тим самим відрізком , площа якої обчислюється значно простіше.
Найбільш прості формули чисельного інтегрування - формули прямокутників та трапецій.
Метод трапецій
Рис. 3
Розіб’ємо відрізок інтегрування на n рівних частин, довжиною .
Дуга кривої заміняється стягуючою її хордою. В точках розбиття проведемо ординати до перетину з кривою . Кінці ординат з’єднаємо прямолінійними відрізками. Тоді можна замінити кожну з одержаних криволінійних трапецій прямолінійною (рис.3). Площа криволінійної трапеції можна вважати наближено дорівнює сумі площ прямолінійних трапецій.
Площа лівої трапеції
Відповідно для трапеції, розміщеної над ділянкою знайдемо:
(5)
Звідси
(6)
або (7)
Похибка методу
Гранична абсолютна похибка методу трапецій знаходиться за формулою:
(8)
, , .
Завдання
Скласти програму обчислення означеного інтеграла методом трапецій.
№ вар.
Підінтегральна функція
Інтервал інтегрування
Метод
Абсолютна похибка
17
[0; 2]
Трапеції
0,001
Блок-схема алгоритму програми
/
Список індентифікаторів, змінних, функцій, використаних у блок-схемі алгоритму і програмі, та їх пояснення
Math – клас, в якому визначено стандартні математичні функції;
double – тип з плаваючою точкою подвійної точності;
if-else - умовний оператор;
Main() – головна функція;
Abs (x)- повертає абсолютне значення x;
Sqrt(x) - знаходження квадратного кореня;
for-оператор покрокового циклу;
int – тип з 32-бітовим цілим числом з знаком.
Текст програми
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
namespace ConsoleApplication4
{
class Lab
{
static void Main(string[] args)
{
double a, b, n, h, res, sum, xi, E, sum2, xi2, rez2;
sum = sum2 = 0;
a = 0;
b = 2;
Console.Write("Введіть похибку:");
E = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());
h = 2; xi = a;
do
{
h = h / 2;
n = (b - a) / h;
for (int i = 1; xi < b; i++)
{
if (xi < b)
{
xi = a + i * h;
sum += (xi * Math.Atan(xi) / (Math.Sqrt(1 + xi * xi)));
}
xi2 = a + i * h / 2;
sum2 += (xi2 * Math.Atan(xi2) / Math.Sqrt(1 + xi2 * xi2));
}
res = (((a * Math.Atan(a) / Math.Sqrt(1 + a * a)) / 2) + (b * Math.Atan(b)) / (Math.Sqrt((1 + b * b
))) / 2 + sum) * h;
rez2 = ((a * Math.Atan(a) ...
